MATRIKS

Aljabar Linear

Assalamualaikum Wr.wb.

Dunia Matematika Akan berbagi tentang Aljabar linear yang dibuat oleh Yuliant Sibaroni S.SI dari Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Bandung sebagai panduan kita dalam menjalankan kuliah di prodi matematika.

Matriks dan Operasi-Operasinya.

Definisi : 

Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan yang dibatasi dengan tanda kurung. Suatu matriks tersusun atas baris dan kolom, jika matrriks tersusun atas m baris dan n kolom maka dikatakan matriks tersebut berukuran ( berordo) m x n. Penulisan matriks biasanya menggunakan huruf besar A,B,C dan seterusnya, sedangkan penulisan matriks beserta ukurannya ( matriks dengan m baris dan n kolom) adalah 

A_mxn, B_mxn

Jenis-Jenis matriks

ada beberapa jenis matriks yang perlu diketahui dan sering digunakan pada pembahasan selanjutnya, yaitu :

a.      Matriks Bujur Sangkar

Matriks bujur sangkar adalah matriks yang jumlah barisnya sama dengan jumlah kolomnya. Karena sifatnya yang demikian ini, dalam matriks bujur sangkar dikenal dengan istilah elemen diagonal yang berjumlah n untuk matriks bujur sangkar yang berukuran nxn, yaitu :

a₁₁, a₂₂, ... , a_nn

contoh

b.      Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks yang elemen bukan diagonalnya bernilai nol. Dalam hal ini tidak disyaratkan bahwa elemen diagonal harus tak nol.

Contoh

c.       Matriks nol. 

Matriks Nol merupakan matriks yang semua elemenya bernilai nol.

d.      Matriks Segitiga

Matriks segitiga adalah matriks bujur sangkar yang elemen-elemen dibawah atau diatas elemen diagonal bernilai nol. Jika yang bernilai nol adalah elemen-elem dibawah elemen diagonal maka disebut matriks segitiga atas, sebaliknya disebut matriks segitiga bawah. Dalam hal ini,juga tidak disyaratkan bahwa elemne diagonal harus bernilai tak nol.

 

Matriks A adalah matriks segitiga bawah, matriks B adalah matriks segitiga atas sedangakan matriks C merupakan matriks segitiga bawah dan juga matriks segitiga atas.

e.       Matriks Identitas

Matriks identitas adalah matriks diagonal yang elemen diagonalnya bernilai 1.

f.       Matriks dalam bentuk  eselon baris tereduksi

Suatu matriks dikatakan memiliki bentuk eselon baris tereduksi jika memenuhi syarat-syarat berikut :

1.      Untuk semua baris yang elem-elemenya tak nol, maka bilangan pertama pada baris tersebut

       haruslah = 1 ( disebut satu utama ).

2.      Untuk sembarang dua baris yang berurutan, maka satu utama yang terletak pada baris yang lebih bawah harus terletak lebih ke kanan daripada satu utama pada baris yang lebih atas.

3.      Jika suatu baris semua elemennya adalah nol, maka baris tersebut diletakkan pada bagian bawah matriks

4.      Kolom yang memiliki satu utama harus memiliki elemen nol ditempat lainnya.

Contoh

Matrik s A,B dan C adalah matriks-matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi dan notasi (1) menyatakan satu utamanya. Contoh berikut menyatakan matriks-matriks yang bukan dalam bentuk eselon baris tereduksi.

 Operasi-operasi Matriks

a.       Operasi penjumlahan dapat dilakukan pada dua buah matriks yang memiliki ukuran yang sama.

Aturan penjumlahan

Dengan penjumlahan elemen-elemen yang bersesuaian pada kedua matriks.

Contoh

b.      Perkalian matriks dengan matriks

Operasi perkalian matriks dapat dilakukan pada dua buat matriks (A dan B) jika jumlah kolom matriks A = jumlah baris matriks B.

Aturan perkalian

Misalkan A_mn dan B_nk maka A_mn B_nk = C_mk dimana elemen-elemen dari C (c_ij) merupakan penjumlahan dari perkalian elemen-elemen A baris i dengan elemen-elemen B kolom j.

c.       Perkalian matriks dengan skalar

Suatu matriks dapat dilakukan suatu skalar k dengan aturan tiap-tiap elemen pada A dilakukan dengan k.

Contoh

Matriks invers

Definisi

Jika A,B matriks bujur sangkar dan berlaku AB = BA = I ( I matriks identitas ), maka dilakukan bahwa A dapat dilakukan dan B adalah matriks invers dari A ( notasi A^-1 ).