Bilangan prima

Bilangan prima adalah bilangan asli yang hanya mempunyai 2 faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Bilangan ini ada tak terhingga banyaknya. Sedangkan kebalikannya adalah bilangan komposit, yaitu bilangan yang mempunyai lebih dari dua faktor.

Sebagai contoh, 3 adalah bilangan prima, karena hanya mempunyai dua faktor, yaitu 1 dan 3. 31 juga prima, karena hanya mempunyai dua faktor, yaitu 1 dan 31. Sedangkan 8 bukan merupakan bilangan prima, tetapi komposit, karena 8 mempunyai lebih dari dua faktor, yaitu 1, 2, 4, dan 8.

1 juga bukanlah merupakan prima, karena hanya mempunyai satu faktor, yaitu hanya 1.

Dan 100 bilangan prima pertama adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Perlu diingat bahwa 2 adalah satu-satunya bilangan prima yang genap.

Salah satu cara untuk menguji apakah suatu bilangan merupakan prima adalah dengan menggunakan Topik Erathoshenes, yaitu suatu bilangan merupakan bilangan prima jika bilangan tersebut tidak habis dibagi oleh semua bilangan prima yang lebih kecil dari atau sama dengan akar dari nilai tersebut.

Sebagai contoh, apakah 91 merupakan prima? Cara mengujinya adalah dengan membagi 91 dengan semua bilangan prima yang lebih kecil dari atau sama dengan  akar 2, yaitu 2, 3, 5, 7, 9. Ternyata 91 habis dibagi 7. Maka, 91 bukan merupakan bilangan prima.

Contoh Soal Bilangan Prima

Soal 1:

Misalkan m dan n adalah dua bilangan asli yang memenuhi m² – 2003 = n² . Berapakah mn? (Soal OSP Matematika SMA tahun 2003)

Jawaban:

Kelihatannya soal ini sangat susah, di mana kita harus mencari dan mencoba-coba nilai m dan n yang memenuhi. Tetapi perhatikan bahwa 2003 merupakan bilangan prima, karena hanya mempunyai 2 faktor.    
Sehingga, bentuk persamaan tersebut dapat kita ubah menjadi m² – n² = 2003
Kemudian, m² – n² = ( m-n ) ( m + n)

Karena m + n lebih besar dari m - n, dan 2003 hanya mempunyai dua faktor, maka kita dapat memperoleh nilai m + n = 2003 dan m – n = 1. Sehingga kita mendapatkan nilai m = 1003 dan n = 1002 , dan nilai dari mn = 1003.1002 = 1005006

 Soal 2:

Tentukan semua bilangan prima sehinggan 3n – 4, 4n -5, dan 5n -3  semuanya merupakan bilangan prima.

Jawaban:

Sama dengan soal 1, kita tidak perlu mencari satu-satu nilai yang memenuhi syarat tersebut.

Sekarang coba kita jumlahkan ketiga bilangan tersebut, yaitu 3n – 4 + 4n – 5 + 5n -3 = 12n – 12 = 2(6n -6).

Karena jumlah ketiga bilangan tersebut genap, maka salah satu dari ketiga bilangan itu pasti genap. Karena 2 merupakan satu-satunya bilangan prima yang genap, maka salah satu dari ketiga bilangan tersebut sama dengan 2, di mana yang memenuhi hanya 3n -4 = 2 , sehingga n yang memenuhi hanya n = 2.